Hilfreiche Ratschläge

Interpolationsformel zwischen zwei Werten

Formel zur Interpolation von Tabellendaten

Wird in der 2. Aktion verwendet, wenn die Menge an NHR (Q, t) aus der Bedingung stammt liegt zwischen 100 t und 300 t

(Ausnahme: Wenn Q by condition gleich 100 oder 300 ist, ist keine Interpolation erforderlich.

yo - Ihre anfängliche Menge an NHR aus dem Zustand in Tonnen

(entspricht dem Buchstaben Q)

y1weniger am nächsten an Ihrem Wert der Menge an NHR, in Tonnen

(aus Tabelle 11-16, in der Regel gleich 100).

y2mehr am nächsten an Ihrem Wert der Menge an NHR, in Tonnen

(aus Tabelle 11-16, normalerweise 300).

x1 - Tabellenwert der Ausbreitungstiefe der kontaminierten Luftwolke (Gt) y1 (x1 gegenüber y1), km.

x2 - Tabellenwert der Ausbreitungstiefe der kontaminierten Luftwolke (Gt) y2 (x2 gegenüber y2), km.

NHR - Chlor, Q = 120 t,

Typ SVSP (Grad des vertikalen Luftwiderstands) - Inversion.

Zu finden Gt - Tabellenwert der Ausbreitungstiefe der kontaminierten Luftwolke.

Wir durchsuchen die Tabellen 11-16 und finden die Daten, die Ihrem Zustand entsprechen (Chlor, Inversion).

Geeigneter Tisch 11.

Ersetzen Sie die ausgewählten Werte in der Formel und suchen Sie x0.

Interpolation

Interpolation, Interpolation (von lat interpolis — «geglättet, renoviert, aktualisiert, transformiert») - in der Rechenmathematik ein Verfahren zum Finden von Zwischenwerten einer Größe aus einem verfügbaren diskreten Satz bekannter Werte. Der Begriff "Interpolation" wurde erstmals von John Wallis in seiner Abhandlung "Arithmetik des Unendlichen" (1656) verwendet.

In der Funktionsanalyse ist die Interpolation linearer Operatoren ein Abschnitt, der Banach-Räume als Elemente einer bestimmten Kategorie betrachtet.

Viele derjenigen, die mit wissenschaftlichen und technischen Berechnungen konfrontiert sind, müssen häufig mit empirisch oder stichprobenartig erhaltenen Wertesätzen arbeiten. In der Regel ist es erforderlich, auf der Basis dieser Mengen eine Funktion zu konstruieren, auf die andere erhaltene Werte mit hoher Genauigkeit fallen können. Dieses Problem nennt man Approximation. Interpolation ist eine Art Näherung, bei der die Kurve der konstruierten Funktion genau durch die verfügbaren Datenpunkte verläuft.

Es gibt auch ein Problem in der Nähe der Interpolation, das darin besteht, eine komplexe Funktion durch eine andere, einfachere Funktion zu approximieren. Wenn eine Funktion für produktive Berechnungen zu kompliziert ist, können Sie versuchen, ihren Wert an mehreren Punkten zu berechnen und damit eine einfachere Funktion zu erstellen, dh zu interpolieren. Natürlich erlaubt die Verwendung einer vereinfachten Funktion nicht, genau die Ergebnisse zu erhalten, die die ursprüngliche Funktion liefern würde. In einigen Problemklassen kann der erzielte Gewinn an Einfachheit und Geschwindigkeit der Berechnungen den resultierenden Fehler in den Ergebnissen aufwiegen.

Erwähnt werden sollte auch eine ganz andere Art der mathematischen Interpolation, die sogenannte „Operatorinterpolation“. Zu den klassischen Arbeiten zur Operatorinterpolation gehören der Riesz-Thorin-Satz und der Marcinkiewicz-Satz, die die Grundlage für viele andere Arbeiten bilden.

Definitionen

Betrachten Sie ein System nicht übereinstimmender Punkte x i < displaystyle x_> (i ≤ 0, 1, ..., N < displaystyle i in <0,1, dots, N >>) aus einer Domäne D < displaystyle D>. Die Werte der Funktion f < displaystyle f> seien nur an diesen Punkten bekannt:

y i = f (x i), i = 1, ..., N. < displaystyle y_= f (x_), quad i = 1, ldots, N.>

Die Interpolationsaufgabe besteht darin, eine Funktion F < displaystyle F> aus einer gegebenen Klasse von Funktionen zu finden, so dass

F (x i) = y i, i = 1, ..., N. < displaystyle F (x_) = y_, quad i = 1, ldots, N.>

  • Punkte x i < displaystyle x_> anrufen Interpolationsknotenund ihre Kombination ist Interpolationsgitter.
  • Paare (x i, y i) < displaystyle (x_y_)> anrufen Datenpunkte oder Basispunkte.
  • Die Differenz zwischen den "benachbarten" Werten & Dgr; x i = x i - x i - 1 < displaystyle Delta x_= x_-x_> — Tonhöheninterpolationsgitter. Es kann entweder variabel oder konstant sein.
  • Funktion F (x) < displaystyle F (x)> - Interpolationsfunktion oder interpolant.

1. Angenommen, wir haben eine Tabellenfunktion, ähnlich der unten beschriebenen, die für mehrere Werte von x < displaystyle x> die entsprechenden Werte von f < displaystyle f> bestimmt:

x < displaystyle x> f (x) < displaystyle f (x)>

0
10,8415
20,9093
30,1411
4−0,7568
5−0,9589
6−0,2794

Durch Interpolation können wir herausfinden, welchen Wert eine solche Funktion an einem anderen Punkt als den angegebenen Punkten haben kann (z. B. wenn x = 2,5).

Bisher gibt es viele verschiedene Interpolationsmethoden. Die Wahl des am besten geeigneten Algorithmus hängt von den Antworten auf die Fragen ab: Wie genau ist die gewählte Methode, wie hoch sind die Kosten für ihre Verwendung, wie reibungslos ist die Interpolationsfunktion, wie viele Datenpunkte werden benötigt usw.

2. Ermitteln Sie den Zwischenwert (durch lineare Interpolation).

600015.5
6378?
800019.2

Rückinterpolation

über die Klasse von Funktionen aus dem Raum C2 [a, b], deren Graphen durch die Punkte des Arrays (xi, yi) verlaufen, i = 0, 1 ,. . . m.

Lösung. Unter allen Funktionen, die die Kontrollpunkte (xi, f (xi)) durchlaufen und zum genannten Raum gehören, liefert der kubische Spline S (x), der die Randbedingungen S00 (a) = S00 (b) = 0 erfüllt, das Extremum (Minimum). funktionales I (f).

In der Praxis tritt häufig das Problem auf, nach einem bestimmten Wert einer Funktion eines Argumentwerts zu suchen. Dieses Problem wird durch inverse Interpolationsmethoden gelöst. Wenn die gegebene Funktion monoton ist, wird die umgekehrte Interpolation am einfachsten durch Ersetzen der Funktion durch ein Argument und umgekehrt und anschließende Interpolation erreicht. Wenn die angegebene Funktion nicht eintönig ist, kann diese Technik nicht verwendet werden. Dann schreiben wir, ohne die Rollen der Funktion und des Arguments zu ändern, die eine oder andere Interpolationsformel unter Verwendung der bekannten Werte des Arguments auf und lösen unter Berücksichtigung der bekannten Funktion die resultierende Gleichung in Bezug auf das Argument.

Die Schätzung des Restterms bei Verwendung des ersten Stichs ist dieselbe wie bei der direkten Interpolation, nur müssen die Ableitungen der direkten Funktion durch die Ableitungen der inversen Funktion ersetzt werden. Bewerten wir den Fehler der zweiten Methode. Wenn wir die Funktion f (x) und Ln (x) erhalten, wird das für diese Funktion konstruierte Lagrange-Interpolationspolynom aus den Knoten x0, x1, x2 gebildet. . . , xn, dann

f (x) - Ln (x) = (n + 1)! (x - x0). . . (x - xn).

Angenommen, wir müssen den Wert x ¯ finden, für den f (¯ x) = y ¯ (y ¯ ist gegeben). Wir lösen die Gleichung Ln (x) = y. Wir bekommen etwas x¯. Wenn wir die vorherige Gleichung einsetzen, erhalten wir:

Mn + 1

f (x) - Ln (x) = f (x) - y = f (x) - f (x) =

Mit der Langrange-Formel erhalten wir

wobei η zwischen x und x liegt. Wenn [a, b] ein Intervall ist, das x und x und min enthält

aus dem letzten Ausdruck folgt:

| x¯ - x¯ | 6m1 (n + 1)! | $ n (x¯) | .

Außerdem wird natürlich angenommen, dass wir die Gleichung Ln (x) = genau gelöst haben.

Verwenden der Interpolation zum Erstellen von Tabellen

Die Interpolationstheorie findet Anwendung beim Kompilieren von Funktionstabellen. Nachdem der Mathematiker ein solches Problem erhalten hat, muss er eine Reihe von Fragen lösen, bevor er mit den Berechnungen beginnt. Die Formel, nach der die Berechnungen durchgeführt werden, muss ausgewählt werden. Diese Formel kann von Standort zu Standort variieren. Normalerweise sind Formeln zur Berechnung von Funktionswerten umständlich und werden daher verwendet, um einige Referenzwerte zu erhalten, und dann wird die Tabelle durch Untertabellenbildung komprimiert. Die Formel, die die Referenzwerte der Funktion liefert, sollte die gewünschte Genauigkeit der Tabellen unter Berücksichtigung der folgenden Untertabelle liefern. Wenn Sie Tabellen mit einem konstanten Schritt erstellen müssen, müssen Sie zuerst den Schritt bestimmen.

Am häufigsten werden Funktionstabellen so kompiliert, dass eine lineare Interpolation möglich ist (d. H. Eine Interpolation unter Verwendung der ersten beiden Terme der Taylor-Formel). In diesem Fall hat die Restlaufzeit die Form

R1 (x) = f00 (l) h2t (t - 1).

Hier gehört ξ zum Intervall zwischen zwei benachbarten Tabellenwerten des Arguments, in dem x liegt, und t liegt zwischen 0 und 1. Das Produkt t (t - 1) nimmt das größte Modulo ein

Wert bei t = 12. Dieser Wert ist gleich 14. Also

8, wobei M2 = max | f00 (ξ) | .

Damit der Interpolationsfehler einen absoluten Wert von a nicht überschreitet, muss h gewählt werden, welches

die die Bedingung h 6 erfüllen würde

Es ist zu beachten, dass neben diesem Fehler - dem Fehler der Methode - bei der praktischen Berechnung von Zwischenwerten immer noch ein nicht behebbarer Fehler und ein Rundungsfehler auftritt. Wie wir bereits gesehen haben, entspricht der schwerwiegende Fehler bei der linearen Interpolation dem Fehler der Tabellenwerte der Funktion. Der Rundungsfehler hängt von der Recheneinrichtung und dem Berechnungsprogramm ab.

1.4. Lagrange-Interpolationsformel

Von Lagrange vorgeschlagener Algorithmus zum Konstruieren der Interpolation

Funktionen gemäß Tabellen (1) sehen die Konstruktion eines Interpolationspolynoms Ln (x) in der Form vor

Ln (x) = 10 (x) + 11 (x) +. + ln (x)

wobei li (x) ein Polynom vom Grad n ist, für das die Bedingungen gelten

Offensichtlich bestimmt die Erfüllung der Bedingungen (11) für (10) die Erfüllung der Bedingungen (2) der Aussage des Interpolationsproblems.

Die Polynome li (x) werden wie folgt geschrieben

Hier ist qj eine Konstante, deren Wert unter Berücksichtigung von (12) als bestimmt wird

- x0). (xi - xi - 1) (xi - xi + 1). (xi - xn)

Es ist zu beachten, dass kein einzelner Faktor im Nenner der Formel (14) gleich Null ist. Nachdem Sie die Werte der Konstanten ci berechnet haben, können Sie sie verwenden, um die Werte der interpolierten Funktion an bestimmten Punkten zu berechnen.

Die Formel des Lagrange-Interpolationspolynoms (11) unter Berücksichtigung der Formeln (13) und (14) kann in der Form geschrieben werden

qi (x - x0) (x - x1) • K • (x - xi - 1) (x - xi + 1) • K • (x - xn)

1.4.1 Organisation manueller Berechnungen nach der Lagrange-Formel

Die direkte Anwendung der Lagrange-Formel führt zu einer Vielzahl ähnlicher Berechnungen. Bei kleinen Tabellen können diese Berechnungen entweder manuell oder in einer Programmumgebung durchgeführt werden.

Microsoft Excel oder OpenOffice.org Calc.

In der ersten Phase betrachten wir den Algorithmus der manuell durchgeführten Berechnungen. In Zukunft sollten dieselben Berechnungen in der Umgebung wiederholt werden

Microsoft Excel oder OpenOffice.org Calc.

In Abb. Fig. 6 zeigt ein Beispiel der Anfangstabelle einer interpolierten Funktion, die durch vier Knoten definiert ist.

Abb. 6. Eine Tabelle mit den Quelldaten für die vier Knoten der interpolierten Funktion

In die dritte Spalte der Tabelle schreiben wir die mit den Formeln (14) berechneten Werte der Koeffizienten qi. Das Folgende ist eine Aufzeichnung dieser Formeln für n = 3.

Der nächste Schritt bei der Durchführung manueller Berechnungen ist die Berechnung der Werte li (x) (j = 0,1,2,3) nach den Formeln (13).

Wir schreiben diese Formeln für die Variante der Tabelle mit vier Knoten, die wir betrachten:

Wir berechnen die Werte der Polynome li (xj) (j = 0,1,2,3) und schreiben sie in die Tabellenzellen. Die Werte der Funktion Ycalc (x) gemäß Formel (11) werden erhalten, indem die Werte li (xj) in Zeilen summiert werden.

Das Format der Tabelle, einschließlich der Spalten der berechneten Werte li (xj) und der Spalte der Werte Ycalc (x), ist in Fig. 8 gezeigt.

Abb. 8. Eine Tabelle mit den Ergebnissen manueller Berechnungen, die mit den Formeln (16), (17) und (11) für alle Werte des Arguments xi durchgeführt wurden

Nachdem die Bildung der in Fig. 8 Mit den Formeln (17) und (11) können Sie den Wert der interpolierten Funktion für jeden Wert des Arguments X berechnen. Für X = 1 berechnen wir beispielsweise die Werte von li (1) (i = 0,1,2,3):

10 (1) = 0,7763, 11 (1) = 3,5889, 12 (1) = - 1,5155, 13 (1) = 0,2966.

Summiert man die Werte von li (1), so erhält man den Wert Yinterp (1) = 3.1463.

1.4.2. Implementierung des Lagrange-Formelinterpolationsalgorithmus in Microsoft Excel

Die Implementierung des Interpolationsalgorithmus beginnt wie bei manuellen Berechnungen mit dem Schreiben von Formeln zur Berechnung der Qi-Koeffizienten. Abbildung 9 zeigt die Spalten der Tabelle mit den angegebenen Werten für Argument, interpolierte Funktion und Koeffizienten qi. Rechts von dieser Tabelle befinden sich die Formeln, die in die Zellen der Spalte C geschrieben sind, um die Werte der Koeffizienten qi zu berechnen.

Abb. 9 Die Tabelle der Koeffizienten qi und der Rechenformeln

Nach Eingabe der Formel q0 in Zelle C2 erstreckt sie sich durch die Zellen von C3 bis C5. Danach werden die Formeln in diesen Zellen gemäß (16) auf die in Fig. 1 gezeigte Form eingestellt. 9.

Calc (xi),

Um die Formeln (17) zu implementieren, schreiben wir die Formeln zur Berechnung der Werte von li (x) (i = 0,1,2,3) in die Zellen der Spalten D, E, F und G. In Zelle D2 zur Berechnung des Wertes von l0 (x0) schreiben wir die Formel:

Hier ist $ C $ 2 eine absolute Referenz auf eine Zelle mit dem Wert q0, $ A2 ist eine Referenz auf die Zelle, in die der Wert x0 geschrieben ist. Diese Formel in eine Spalte strecken,

wir erhalten die Werte l0 (xi) (i = 0,1,2,3).

Mit dem Verknüpfungsformat $ A2 können Sie die Formel entlang der Spalten E, F, G strecken, um Berechnungsformeln für die Berechnung von li (x0) (i = 1,2,3) zu erstellen. Wenn Sie eine Formel entlang einer Linie ziehen, ändert sich der Spaltenindex der Argumente nicht. Um li (x0) (i = 1,2,3) nach der Formel l0 (x0) zu berechnen, muss deren Korrektur nach Formel (17) durchgeführt werden.

In Spalte H platzieren wir die Excel-Formeln zur Summierung von li (x) entsprechend der Formel

In Abb. 10 zeigt eine in der Umgebung von Microsoft Excel implementierte Tabelle. Das Vorzeichen für die Richtigkeit der in den Zellen der Tabelle der Formeln aufgezeichneten Formeln und der durchgeführten Rechenoperationen ist die erhaltene Diagonalmatrix li (xj) (i = 0,1,2,3) (j = 0,1,2,3), wobei die in Fig. 4 gezeigten Ergebnisse wiederholt werden. 8 und eine Spalte von Werten, die mit den Werten der interpolierten Funktion in den Knoten der ursprünglichen Tabelle übereinstimmen.

Abb. 10. Wertetabelle li (xj) (j = 0,1,2,3) und Ycalc (xj)

Zur Berechnung von Werten an einigen Zwischenpunkten ist es ausreichend

Die Zellen der Spalte A geben ab Zelle A6 die Werte des Arguments X ein, für das Sie die Werte der interpolierten Funktion bestimmen möchten. Hervorheben

in der letzten (5.) Zeile der Zelltabelle von 10 (xn) bis Ycalc (xn) und strecken Sie die in den ausgewählten Zellen geschriebenen Formeln in die Zeile, die die letzte enthält

der angegebene Wert des Arguments x.

In Abb. Abbildung 11 zeigt die Tabelle, in der die Funktionswerte an drei Punkten berechnet wurden: x = 1, x = 2 und x = 3. Eine zusätzliche Spalte mit Zeilennummern der Quelldatentabelle wurde in die Tabelle eingefügt.

Abb. 11. Berechnung von Werten interpolierter Funktionen durch Lagrange-Formeln

Um die Anzeige der Interpolationsergebnisse übersichtlicher zu gestalten, erstellen wir eine Tabelle mit einer Spalte von X-geordneten Werten in aufsteigender Reihenfolge, einer Spalte von Anfangswerten der Funktion Y (X) und einer Spalte

Sagen Sie mir, wie man die Interpolationsformel verwendet und welche bei der Lösung von Problemen in der Thermodynamik (Wärmetechnik)

Iwan Schestakowitsch

Die einfachste, aber auch oft nicht ausreichend genaue Interpolation ist linear. Wenn Sie bereits zwei bekannte Punkte (X1 Y1) und (X2 Y2) haben und die Werte des Tages eines bestimmten X zwischen X1 und X2 suchen müssen. Dann ist die Formel einfach.
Y = (Y2-Y1) * (X-X1) / (X2-X1) + Y1
Übrigens funktioniert diese Formel auch mit Werten von X außerhalb der Grenzen des Intervalls X1 ... X2, aber dies wird bereits als Extrapolation bezeichnet und ergibt einen sehr großen Fehler in einem beträchtlichen Abstand von diesem Intervall.
Es gibt viele andere Kumpel. Interpolationsmethoden - Ich rate Ihnen, das Lehrbuch zu lesen oder im Internet zu stöbern.
Die grafische Interpolationsmethode ist ebenfalls möglich - zeichnen Sie den Graphen manuell durch bekannte Punkte und suchen Sie für das erforderliche X U aus dem Graphen.)

Ein Roman

Du hast zwei Bedeutungen. Und über die Abhängigkeit (linear, quadratisch, ..)
Der Graph dieser Funktion geht durch Ihre beiden Punkte. Du brauchst einen Wert irgendwo dazwischen. Nun, zum Ausdruck bringen!
Zum Beispiel. In der Tabelle beträgt der Sättigungsdampfdruck bei einer Temperatur von 22 Grad 120.000 Pa und bei 26.124.000 Pa. Dann bei einer Temperatur von 23 Grad 121.000 Pa.

Sehen Sie sich das Video an: Interpolieren - Thermodynamik (Februar 2020).