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So finden Sie Hypotenuse: 4 Möglichkeiten, um die Antwort zu finden

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Die Beinlängen und die Hypotenuse werden durch die im Satz von Pythagoras beschriebene Beziehung in Beziehung gesetzt. Algebraische Formulierung: "In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Länge der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Beinlängen."

Die Formel von Pythagoras sieht so aus:
c2 = a2 + b2,

wobei c die Länge der Hypotenuse ist, a und b die Länge der Beine sind.

Wenn man die Länge der Beine kennt, kann man nach dem Satz von Pythagoras die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks finden:

Ein Beispiel. Die Länge eines der Beine beträgt 3 cm, die Länge des anderen 4 cm. Die Summe ihrer Quadrate beträgt 25 cm²:

9 cm² + 16 cm² = 25 cm².

Die Länge der Hypotenuse entspricht in unserem Fall der Quadratwurzel von 25 cm² - 5 cm, daher beträgt die Länge der Hypotenuse 5 cm.

Methodennummer 1: Beide Beine sind gegeben

Dies ist die einprägsamste Methode, da sie den Satz von Pythagoras verwendet. Nur manchmal vergessen die Schüler, dass diese Formel das Quadrat der Hypotenuse ist. Um die Seite selbst zu finden, müssen Sie die Quadratwurzel extrahieren. Daher sieht die Formel für die Hypotenuse, die normalerweise mit dem Buchstaben „c“ bezeichnet wird, folgendermaßen aus:

c = √ (a 2 + bis 2), wobei die Buchstaben "a" und "b" beide Beine eines rechtwinkligen Dreiecks aufzeichnen.

Methodennummer 2: Das Bein und der Winkel daneben sind bekannt

Um herauszufinden, wie man Hypotenuse findet, müssen Sie trigonometrische Funktionen aufrufen. Nämlich Kosinus. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass das Bein "a" und der Winkel & agr; daneben gegeben sind.

Nun müssen wir uns daran erinnern, dass der Cosinus des Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks gleich dem Verhältnis zweier Seiten ist. Der Zähler ist der Wert des Beins, und der Nenner ist die Hypotenuse. Daraus folgt, dass sich letzteres nach der Formel berechnen lässt:

c = a / cos α.

Methode Nummer 3: Geben Sie das Bein und den Winkel an, der ihm gegenüberliegt

Um in den Formeln nicht durcheinander zu kommen, führen wir die Notation für diesen Winkel - β ein und lassen die Seite "a" so wie sie ist. In diesem Fall ist eine andere trigonometrische Funktion erforderlich - der Sinus.

Wie im vorherigen Beispiel entspricht der Sinus dem Verhältnis von Bein zu Hypotenuse. Die Formel für diese Methode sieht folgendermaßen aus:

c = a / sin β.

Um sich nicht in trigonometrischen Funktionen zu verwirren, können Sie sich an eine einfache Gedächtnisregel erinnern: Wenn es um das Problem gehtüberTauchwinkel dann musst du mit verwendenundnus if - über prunddann zu lügenüberSinus Sie sollten auf die ersten Vokale in den Schlüsselwörtern achten. Sie bilden Paare oh und oder uh.

Methodennummer 4: entlang des Radius des umschriebenen Kreises

Um nun zu lernen, wie Sie die Hypotenuse finden, müssen Sie sich an die Eigenschaft des Kreises erinnern, der in der Nähe eines rechtwinkligen Dreiecks beschrieben wird. Es lautet wie folgt. Der Mittelpunkt des Kreises fällt mit der Mitte der Hypotenuse zusammen. Mit anderen Worten, die größte Seite eines rechtwinkligen Dreiecks ist die Diagonale eines Kreises. Das heißt, doppelter Radius. Die Formel für diese Aufgabe sieht folgendermaßen aus:

c = 2 * rwobei r einen bekannten Radius bezeichnet.

Dies sind alles mögliche Wege, um die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks zu finden. Sie müssen jede bestimmte Aufgabe mit der Methode verwenden, die für den Datensatz besser geeignet ist.

Beispiel für Aufgabe Nr. 1

Bedingung: In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Mediane zu beiden Beinen gezogen. Die Länge des zur größeren Seite gezeichneten ist √52. Der andere Median hat eine Länge von √73. Es ist erforderlich, um die Hypotenuse zu berechnen.

Da die Mediane im Dreieck gezeichnet sind, teilen sie die Beine in zwei gleiche Segmente. Zur Vereinfachung des Denkens und zur Suche nach der Hypotenuse müssen Sie mehrere Schreibweisen einführen. Lassen Sie beide Hälften des größeren Beins mit dem Buchstaben "x" und die andere mit "y" gekennzeichnet sein.

Nun müssen wir zwei rechtwinklige Dreiecke betrachten, deren Hypotenusen bekannte Mediane sind. Für sie müssen Sie die Formel des Satzes von Pythagoras zweimal aufschreiben:

(2y) 2 + x 2 = (√52) 2

(y) 2 + (2x) 2 = (√73) 2.

Diese beiden Gleichungen bilden ein System mit zwei Unbekannten. Wenn Sie sie gelöst haben, können Sie leicht die Beine des ursprünglichen Dreiecks und seine Hypotenuse finden.

Zuerst müssen Sie alles auf den zweiten Grad erhöhen. Es stellt sich heraus:

Die zweite Gleichung zeigt, dass y 2 = 73 - 4x 2 ist. Dieser Ausdruck muss durch den ersten ersetzt werden und "x" berechnen:

4 (73 - 4x 2) + x 2 = 52.

292 - 16 × 2 + × 2 = 52 oder 15 × 2 = 240.

Ab dem letzten Ausdruck ist x = √16 = 4.

Jetzt können Sie das "y" berechnen:

y 2 = 73 - 4 (4) 2 = 73 - 64 = 9.

Entsprechend der Bedingung stellt sich heraus, dass die Beine des ursprünglichen Dreiecks 6 und 8 sind. Daher können Sie die Formel aus der ersten Methode verwenden und die Hypotenuse finden:

√(6 2 + 8 2 ) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Die antwort: Hypotenuse ist 10.

Beispiel für Aufgabe Nr. 2

Bedingung: Berechnen Sie die in einem Rechteck gezeichnete Diagonale mit einer kleineren Seite von 41. Wenn Sie wissen, dass sie den Winkel in die Winkel aufteilt, die sich auf 2 zu 1 beziehen.

Bei dieser Aufgabe ist die Diagonale des Rechtecks ​​die größte Seite des Dreiecks mit einem Winkel von 90 °. Daher kommt es darauf an, wie man die Hypotenuse findet.

Das Problem ist über Winkel. Dies bedeutet, dass Sie eine der Formeln verwenden müssen, in denen trigonometrische Funktionen vorhanden sind. Und zuerst müssen Sie den Wert einer der scharfen Ecken bestimmen.

Der kleinere der Winkel, auf den in der Bedingung Bezug genommen wird, sei mit α bezeichnet. Dann ist der rechte Winkel, der durch die Diagonale geteilt wird, gleich 3α. Das mathematische Protokoll hierfür lautet wie folgt:

Aus dieser Gleichung ist es einfach, α zu bestimmen. Es wird gleich 30º sein. Außerdem liegt es der kleineren Seite des Rechtecks ​​gegenüber. Daher benötigen Sie die in Methode Nr. 3 beschriebene Formel.

Hypotenuse ist gleich dem Verhältnis des Beins zum Sinus des entgegengesetzten Winkels, das heißt:

Rechteckiger Dreiecksrechner

Was muss gezählt werden?

Dreieck - Dies ist eine geometrische Figur, die aus drei Segmenten besteht, die durch drei Punkte verbunden sind, in denen alle Winkel intern sind.

Die Seiten des rechten Dreiecks wurden Hypotenuse und Katheti genannt.

Cathet ist die Seite des Dreiecks neben der rechten Ecke.

Hypotenuse - Dies ist die Seite des Dreiecks gegenüber der rechten Ecke. Hypotenuse ist die längste Seite des Dreiecks.

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