Hilfreiche Ratschläge

Wie zeichnet man ein Polygon

Das korrekt beschriebene Dreieck ist wie folgt aufgebaut (Abbildung 38). Aus der Mitte eines gegebenen Radiuskreises R1Zeichnen Sie einen Kreis mit einem Radius R2 = 2R1 und teilen Sie es in drei gleiche Teile. Teilungspunkte A, B, C sind die Eckpunkte eines regelmäßigen Dreiecks, das um einen Radiuskreis umschrieben ist R1.

Das richtige Viereck beschrieben (Quadrat) kann mit einem Kompass und einem Lineal gebaut werden (Abbildung 39). In einem gegebenen Kreis verbringen zwei senkrecht zueinander stehende Durchmesser. Haben Sie die Schnittpunkte der Durchmesser mit dem Kreis als Mittelpunkt genommen, den Radius des Kreises Rbeschreiben Bögen vor ihrem Schnittpunkt an Punkten A, B, C, D. Punkte A, B, C, Dund sind die Eckpunkte des Quadrats, die um einen gegebenen Kreis herum umschrieben sind.

So bauen Sie das richtige Sechseck beschrieben Zunächst müssen die Eckpunkte des beschriebenen Quadrats auf die oben beschriebene Weise erstellt werden (Abbildung 40, a). Gleichzeitig mit der Bestimmung der Eckpunkte eines Quadrats entsteht ein vorgegebener Radiuskreis Ran Punkten in sechs gleiche Teile geteilt 1, 2, 3, 4, 5, 6und zeichnen Sie die vertikalen Seiten des Quadrats. Durchlaufen der Teilungspunkte des Kreises 2–5 und 3–6 Gerade Linien, bis sie die vertikalen Seiten des Quadrats schneiden (Abbildung 40, b), erhalten die Eckpunkte A, B, D, E beschriebenes regelmäßiges Sechseck.

Andere Gipfel C und F bestimmt unter Verwendung eines Kreisbogens mit einem Radius Oa, die vor dem Überqueren mit der Fortsetzung des vertikalen Durchmessers eines gegebenen Kreises durchgeführt wird.
3 PAARE

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Das Thema dieses Video-Tutorials lautet „Erstellen von regelmäßigen Polygonen“. In dieser Lektion werden Möglichkeiten zum Erstellen regulärer Polygone mit einem Kompass und einem Lineal untersucht. Wir definieren auch wieder ein regelmäßiges Polygon, stellen es grafisch dar und stellen dann wieder sicher, dass die Zentren der eingeschriebenen und eingekreisten Kreise um eine solche Figur zusammenfallen.

Betreff: Umfang und Kreisfläche

Lektion: Regelmäßige Polygone erstellen

1. Einleitung

Traditionell erinnern wir uns hier an die grundlegende Definition: Ein konvexes Polygon wird als regulär bezeichnet, wenn alle seine Seiten gleich sind und alle seine Winkel gleich sind (Abb. 1).

In dieses Polygon kann immer ein Kreis eingegeben werden, und ein Kreis kann immer um dieses Polygon herum beschrieben werden. Die Mitten beider Kreise fallen zusammen (Punkt O in Abb. 1). Die Abbildung zeigt auch die Radien der umschriebenen (R) und eingeschriebenen (r) Kreise.

In früheren Lektionen haben wir herausgefunden, dass die Winkelhalbierenden und die Mittelsenkrechten zu ihren Seiten die grundlegende Rolle für die Beschreibung der Eigenschaften von Polygonen spielen. Genau auf der Fähigkeit, Winkelhalbierende und Mittelsenkrechte von Segmenten zu konstruieren, basiert die Methode zur Konstruktion regelmäßiger Polygone. Erinnern wir uns kurz daran, wie die mittlere Senkrechte eines Segments konstruiert wird.

Das Segment AB ist angegeben (Fig. 2). Es ist notwendig, seine mittlere Senkrechte zu bauen.

1. Zeichnen Sie einen Kreis, der am Punkt A mit einem beliebigen Radius R zentriert ist (in Abb. 2 sind nur Fragmente dieses Kreises dargestellt).

2. Zeichnen Sie auf ähnliche Weise einen Kreis, der am Punkt B mit demselben Radius zentriert ist (Abb. 2).

3. Die Punkte M und N des Schnittpunktes der konstruierten Kreise sind durch ein Segment verbunden.

Dieses Segment ist MN und ist die mittlere Senkrechte des Segments AB. Lassen Sie uns diese Aussage beweisen. Die Dreiecke MNB und MNA sind auf drei Seiten gleich, woraus sich die Winkelgleichheit am Scheitelpunkt M ergibt. Die Dreiecke ANB und MVA sind ebenfalls auf drei Seiten gleich, außerdem sind alle diese Dreiecke gleichschenklig. MN ist die Halbierende von ∆MBA und daher auch die Höhe und der Median dieses Dreiecks. Ähnliche Überlegungen werden für das Segment NH angestellt. Somit erhalten wir das MN ^ AB und teilen es in zwei Hälften. Welches war erforderlich, um zu beweisen.

Die Fähigkeit, das mittlere senkrechte Segment aufzubauen, ermöglicht es Ihnen, viele Probleme zu lösen. Hier ist ein Beispiel von einem von ihnen: um ein Quadrat zu bauen, wenn seine Diagonale d gegeben ist (Abb. 3.).

1. Setzen Sie in einer beliebigen Zeile das Segment AB gleich d ab.

2. Mit dem obigen Algorithmus konstruieren wir für das Segment AB die mittlere Senkrechte p (Abb. 3).

3. Ermitteln Sie den Punkt M des Schnittpunkts der Mitte senkrecht zum Segment. Von diesem Punkt auf der Linie p verschieben wir die Segmente MC = MD = MA.

4. Verbinden Sie die Punkte A, B, C, D durch Segmente, wie in Abb. 3.

5. Als Ergebnis erhalten wir ein Quadrat mit den Diagonalen AB und CD.

Erinnern Sie sich an eine andere wichtige Konstruktion - die Konstruktion der Winkelhalbierenden.

Geben Sie den Winkel ОО an (Abb. 4). Es ist notwendig, seine Halbierende zu bauen.

1. Zeichnen Sie einen Kreis, der am Punkt O mit einem gewissen Radius R zentriert ist. In Fig. 4 ist dieser Kreis fragmentarisch dargestellt.

2. Finden Sie die Punkte A und B des Schnittpunkts dieses Kreises mit den Seiten 10.

3. Wir konstruieren einen Kreis, der am Punkt A eines bestimmten Radius zentriert ist (Abb. 4).

4. Auf ähnliche Weise konstruieren wir einen Kreis, der am Punkt B mit demselben Radius zentriert ist.

5. Ermitteln Sie den Punkt L des Schnittpunkts dieser Kreise.

6. Verbinden Sie die Punkte L und O durch ein Segment.

7. Das erhaltene Segment LO ist die Winkelhalbierende (diese Behauptung kann leicht unter Berücksichtigung der Gleichheit der Dreiecke OLA und OLB bewiesen werden).

Das wichtigste der regelmäßigen Polygone ist ein gleichseitiges Dreieck.

Ziel: Aufbau eines regelmäßigen Dreiecks ABC, dessen Seite gleich a ist.

Aufbau (Abb. 5):

1. Wählen Sie auf einer beliebigen Linie Punkt A aus und setzen Sie auf dieser Linie mit einem Lineal AC = a.

2. Wir konstruieren zwei Kreise mit dem gleichen Radius a - mit dem Mittelpunkt am Punkt A und mit dem Mittelpunkt am Punkt C (in Abb. 5 sind Kreisfragmente mit einer gestrichelten Linie dargestellt). Dazu werden die Beine des Kompasses mit einem Lineal auf den gewünschten Abstand gezüchtet.

3. Finden Sie den Punkt B des Schnittpunktes dieser Kreise und verbinden Sie ihn mit den Punkten A und C.

4. Erhalten Sie das gewünschte regelmäßige Dreieck ABC. Das Problem ist gelöst.

Betrachten Sie den Algorithmus zum Konstruieren eines regulären Sechsecks.

Aufgabe: Baue ein regelmäßiges Sechseck mit Seite a6 .

Aufbau (Abb. 6):

1. Zunächst erinnern wir uns an die Eigenschaft eines Sechsecks, die in früheren Lektionen bewiesen wurde: Die Länge seiner Seite entspricht dem Radius des umschriebenen Kreises :.

2. Konstruieren Sie einen Kreis, der an einem beliebigen Punkt O und Radius zentriert ist.

Der Winkel zwischen den Beinen des Kompasses wird nicht geändert.

3. Platzieren Sie ein Kompassbein an einem beliebigen Punkt A1 Markieren Sie auf einem Kreis mit dem zweiten Bein Punkt A auf demselben Kreis2 und verbinden Sie es mit Punkt A1. Holen Sie sich die erste Seite des Sechsecks.

4. Wiederholen Sie die gleichen Schritte vier Mal, um die verbleibenden Scheitelpunkte der gewünschten Form zu erhalten.

5. Als Ergebnis erhalten wir A1 ... und6 Ist ein reguläres Sechseck, das am Punkt O zentriert ist.

Die nächste Aufgabe demonstriert eine wichtige Technik, die für die Konstruktion regulärer Polygone erforderlich ist.

Die Anzahl der Seiten eines regulären Polygons verdoppeln.

Ein reguläres n-gon A ist gegeben1 … An (Abb. 7). Baue ein reguläres 2n-Gon A1 In1 A2 In2 … AnInnein reguläres Polygon mit der Anzahl der Seiten, die doppelt so groß sind wie das Original.

1. Stellen Sie die mittleren Lotrechte an zwei benachbarten Seiten des ursprünglichen Polygons wieder her und suchen Sie den Punkt O ihres Schnittpunkts (in Abb. 7 durch eine gepunktete Linie dargestellt).

2. Zeichnen Sie einen Kreis, der am Punkt O zentriert ist, und einen Radius von OA1. Dieser Kreis verläuft durch alle Eckpunkte des Polygons, da er um dieses herum beschrieben wird.

3. Unter Verwendung der mittleren Senkrechten zu den Seiten des Polygons, weggelassen von Punkt O, teilen wir alle seine Seiten und alle zwischen seinen benachbarten Eckpunkten eingeschlossenen Kreisbögen in zwei Hälften. Lassen Sie dazu einfach die Loten vom Mittelpunkt des Kreises zu den Seiten fallen und verlängern Sie sie bis zum Schnittpunkt mit dem Kreis.

4. Punkte B1, In2, ... Inn Verbinden Sie den Schnittpunkt der mittleren Loten mit einem Kreis mit den Eckpunkten des Polygons A1 … An Segmente wie in Abb. 7.

5. Die resultierende Zahl ist das gewünschte reguläre Polygon, dessen Seitenzahl doppelt so hoch ist wie die Seitenzahl des ursprünglichen Polygons.

In dieser Lektion wurde die Konstruktion eines regelmäßigen Polygons mit einem Kompass und einem Lineal betrachtet. Es ist wichtig zu beachten, dass nicht alle Auf diese Weise können reguläre Polygone konstruiert werden.

Es ist bewiesen, dass es unmöglich ist, zum Beispiel ein reguläres 7-Gon zu konstruieren, aber ein reguläres 17-Gon kann auf diese Weise konstruiert werden.

Empfohlene Leseliste

1. Atanasyan L. S. et al., Geometrie 7-9-Klassen. Lehrbuch für Bildungseinrichtungen. - M .: Ausbildung, 2010.

2. Farkov A. V. Prüfungen in der Geometrie: 9. Klasse. Zum Lehrbuch von L. S. Atanasyan ua - M .: Exam, 2010.

3. Pogorelov A. V. Geometrie, Studie. für 7 - 11 cl. allgemein Institution - M .: Ausbildung, 1995.

Empfohlene Internet-Links

2. Die durchschnittliche mathematische Online-Schule (Quelle).

Empfohlene Hausaufgaben

1. Lehrbuch Pogorelov (siehe Referenzliste), S. 211, Sicherheitsfrage Nr. 12.

2. Pogorelovs Lehrbuch (siehe Referenzen), S. 212, Aufgaben 14, 15.

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Wie zeichnet man ein Polygon

Wir werden unsere Figur in Photoshop erstellen. In diesem Artikel werde ich die Funktionen des Programms nicht analysieren. Diejenigen, die wissen, wie man es benutzt, werden verstehen, und unsere Aufgabe ist es, das Prinzip zu verstehen. Ich stelle fest, dass auch einfache Stifte, ein Lineal und ein Kompass funktionieren.

Sie können online nach mir zeichnen, das Lernen wird zuverlässiger in Erinnerung bleiben. Die Praxis war immer eng mit der Theorie verbunden. Hände machen, schneller merken.

Wir nehmen zufällig ein Blatt Papier und einen Kompass und zeichnen einen Kreis. Wir schauen unten.


Zeichnen Sie nun durch die Mitte O eine horizontale Linie F, F1 (grüne Linie).


Als nächstes platzieren wir den Kompass am Punkt F1 und erzeugen einen weiteren Kreis durch die Mitte des ersten, durch die Mitte O. Das Bild unten.

Bezeichnen wir die Kreuzung. Dies sind die Punkte B, C.

Zeichnen Sie nun zwei gerade Linien durch die Mitte von O. Die erste ist B, B1. Der zweite ist C, C1 (wir haben blau). Das Bild ist unten.

Wir haben sechs Punkte, wenn Sie sie verbinden, erhalten Sie ein Sechseck.


Fazit: "Die Seite des Sechsecks ist gleich dem Radius des Kreises"

Wenn wir die Leitungen wie auf dem Foto unten verbinden, erhalten wir die Trihedra. Ein anderes solches Zeichen heißt "Davidsstern"

Kennen Sie andere Möglichkeiten, um ein Sechseck zu bauen? Teilen Sie in den Kommentaren.

Ich schlage vor, Artikel zum Erstellen eines Schattens aus Formen anzuzeigen.

Sehen Sie sich das Video an: Technisch Zeichnen Tutorial: Vielecke Polygon konstruieren Deutsch German (Dezember 2019).