Hilfreiche Ratschläge

So subtrahieren und addieren Sie Vektoren

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Um Vektoren hinzuzufügen, müssen Sie die Summe der entsprechenden Koordinaten dieser Vektoren ermitteln. Angenommen, es gibt Vektoren in der Ebene $ overline = (x_1, y_1) $ und $ overline= (x_2, y_2) $, dann kann ihre Summe durch die Formel gefunden werden: $$ overline + overline = (x_1 + x_2, y_1 + y_2) $$

Beim Addieren wird die erste Koordinate des ersten Vektors zur ersten Koordinate des zweiten Vektors addiert, die zweite Koordinate des ersten Vektors wird zur zweiten Koordinate des zweiten Vektors addiert und so weiter, abhängig von der Dimension der Vektoren. Es ist zu beachten, dass Vektoren nur mit der gleichen Dimension hinzugefügt werden können.

Lösungsbeispiele

So, wie man Vektoren durch Koordinaten hinzufügt? Zum Ersten fügen wir den Ersten, den Zweiten zum Zweiten hinzu:

In diesem Problem werden Vektoren im zweidimensionalen Raum angegeben und haben nur zwei Koordinaten. Wenn es drei Koordinaten geben würde, müssen Sie die zweite Formel für ein dreidimensionales Problem anwenden.

Wenn Sie Ihr Problem nicht lösen können, senden Sie es uns. Wir bieten eine detaillierte Lösung. Sie können sich mit dem Berechnungsprozess vertraut machen und Informationen erhalten. Dies wird dazu beitragen, den Lehrer rechtzeitig zu würdigen!

2. Subtraktion von Vektoren

Sie können Vektoren nicht nur hinzufügen, sondern auch subtrahieren! Kombinieren Sie dazu die Basen der subtrahierten und subtrahierten Vektoren und verbinden Sie deren Enden mit den Pfeilen:

  • Vektor A = CB
  • Vektor B = CA

3. Vektoren und Zahlen

Wir fügen unseren Vektoren ein Koordinatengitter hinzu. Für Vektor A kann man sagen, dass er 5 Zellen (positiver Wert der Y-Achse) und 3 Zellen nach links (negativer Wert der X-Achse) nach oben gerichtet ist: X = -3, Y = 5.

Für Vektor B: Richtung 4 Zellen nach links und 7 Zellen nach unten: X = -4, Y = -7.

Um also Vektoren entlang der X- und Y-Achse hinzuzufügen, müssen deren Koordinaten hinzugefügt werden. So ermitteln Sie die Koordinaten des resultierenden Vektors entlang der X- und Y-Achse:

1. Die Summe zweier Vektoren, die Regel des Dreiecks

In der vorherigen Lektion haben wir das Konzept eines Vektors definiert. Diese Vektoren werden als gleich, kollinear, co-gerichtet und anti-gerichtet bezeichnet.

Geben Sie nun zwei Vektoren an - Vektoren (siehe Abb. 1).

Diese Definition kann wie folgt erklärt werden: Es sei die Last gegeben und die Kraft, die zuerst darauf einwirkt - die Last bewegte sich von Punkt B zu Punkt C. Aber infolge der Wirkung dieser beiden Kräfte bewegte sich die Last von Punkt A zu Punkt C.

So haben wir die Definition der Summe zweier Vektoren erhalten - die Dreiecksregel.

Dreieck-Regel

Um die Summe zweier Vektoren zu erhalten, müssen Sie den ersten Vektor von einem beliebigen Punkt aus verschieben, den zweiten Vektor vom Ende des resultierenden Vektors aus verschieben und einen Vektor erstellen, der den Anfang des ersten mit dem Ende des zweiten Vektors verbindet - dies ist die Summe zweier Vektoren.

Sie können eine Analogie mit Zahlen zeichnen. Wir haben das Konzept der Zahl eingeführt, gelernt, wie man Zahlen addiert, die Gesetze der Addition bestimmt und so weiter. Nun haben wir das Konzept eines Vektors eingeführt und gelernt, gleiche Vektoren zu finden und Vektoren hinzuzufügen. Nun müssen Sie die Additionsgesetze bestimmen.

2. Die Gesetze der Addition von Vektoren, die Regel des Parallelogramms

Additionsgesetze von Vektoren

Für alle Vektoren gelten die folgenden Gleichungen:

- Umzugsrecht.

Beweis: Zuerst verschieben wir den Vektor vom Punkt.

Nun verschieben wir zuerst den Vektor von Punkt A.

Um die Gleichheit der Vektoren zu beweisen, führen wir beide Konstruktionen vom selben Punkt aus und erhalten so die Parallelogrammregel (siehe Abb. 2).

Wir verschieben den Vektor von Punkt A. Damit haben wir die Translation bewiesen

das Gesetz der Addition von Vektoren und bekam die Parallelogrammregel (vgl. Fig. 3).

Parallelogrammregel

Um die Summe zweier Vektoren zu erhalten, müssen Sie diese beiden Vektoren von einem beliebigen Punkt aus verschieben und ein Parallelogramm darauf aufbauen. Die Diagonale eines Parallelogramms ab dem Startpunkt ist die Summe der angegebenen Vektoren.

- Kombinationsgesetz

Von einem beliebigen Punkt A verschieben wir den Vektor (siehe Abb. 4).

Auf der rechten Seite des Ausdrucks haben wir zuerst die Summe der Vektoren erhalten (siehe Abb. 5).

Somit haben wir das Kombinationsgesetz der Addition von Vektoren bewiesen.

3. Die Additionsregel mehrerer Vektoren

Polygonregel

Um mehrere Vektoren hinzuzufügen, müssen Sie den ersten Vektor von einem beliebigen Punkt aus verschieben, den zweiten Vektor von seinem Ende aus verschieben, den dritten vom Ende des zweiten Vektors aus verschieben usw. Wenn alle Vektoren verschoben sind und den Startpunkt mit dem Ende des letzten Vektors verbinden, erhalten Sie die Summe mehrerer Vektoren (siehe Fig. 6).

In Analogie zu reellen Zahlen benötigen wir, nachdem wir gelernt haben, sie zu addieren, die entgegengesetzte Operation - Subtraktion.

4. Die Regel des Subtrahierens von Vektoren

Es seien zwei Vektoren gegeben - Vektoren.

Definition

Die Differenz zweier Vektoren.

Wenn ein Vektor angegeben ist.

Wir verschieben den Vektor von einem beliebigen Punkt aus (siehe Abb. 7).

Betrachten Sie die Subtraktion von Vektoren auf einem Parallelogramm. Ab Punkt A verschieben wir die Vektoren (siehe Abb. 8).

In dieser Lektion haben wir die Regeln für die Addition und Subtraktion von Vektoren mit Hilfe eines Dreiecks und eines Parallelogramms abgeleitet und die Gesetze für die Addition von Vektoren formuliert.

Referenzliste

  1. Alexandrov A.D. et al., Geometry, Grade 8. - M .: Ausbildung, 2006.
  2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometrie, Klasse 8. - M .: Ausbildung, 2011.
  3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometrie, Klasse 8. - M .: VENTANA-GRAPH, 2009.

Zusätzliche empfohlene Links zu Internetquellen

Hausaufgaben

  1. Aufgabe 1: ein Dreieck gegeben.

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4. Aufteilen von Vektoren in Koordinaten

Betrachten Sie das Problem: der ball bewegt sich mit einer geschwindigkeit von 10 m / s auf einer schiefen ebene mit einer basislänge von x = 1 m und einem horizont von 30 °. Es ist erforderlich, die Zeit zu bestimmen, in der sich der Ball vom Anfang bis zum Ende des Flugzeugs bewegt.

In diesem Problem ist die Geschwindigkeit ein Vektor V mit einem Wert von 10 m / s und Richtung α=30° zur Horizontalen. Um die Bewegungsgeschwindigkeit des Balls entlang der Basis der schiefen Ebene zu bestimmen, müssen wir die X-Komponente der Bewegung des Balls bestimmen, die ein Skalar ist (es ist nur wichtig, aber keine Richtung) und bezeichnet wird Vx. In ähnlicher Weise ist auch die Y-Komponente der Geschwindigkeit ein Skalar und wird mit bezeichnet Vy. Geschwindigkeitsvektor durch Komponenten: V = (Vx, Vy)

Definieren Sie die Komponenten (Vx, Vy) Rückruf Trigonometrie:

X-Komponente der Geschwindigkeit des Balls:

Vx = V · cosα = V · cos30º = 10,0 · 0,866 = 8,66 m / s

Die horizontale Geschwindigkeit des Balls beträgt 8,66 m / s.

Weil Die Länge der Basis der schiefen Ebene beträgt 1 m. Dann überwindet der Ball diese Distanz in:

1,00 (m) / 8,66 (m / s) = 0,12 s

Daher benötigt die Kugel 0,12 s, um sich entlang einer schiefen Ebene zu bewegen. Antwort: 0,12 s

Interesse zur Bestimmung der Y-Komponente der Geschwindigkeit:

Vy = V · sinα = 10 · 1/2 = 5,0 m / s

Da die "Laufzeit" des Balls für beide Komponenten gleich ist, können wir die Höhe Y bestimmen, mit der der Ball gerollt hat:

5,0 (m / s) 0,12 (s) = 0,6 m

Ballabstand:

L = 1,00 2 + 0,60 2 = 1,36 = 1,16 m

Inverses Problem

Betrachten Sie das Problem umgekehrt zum vorherigen:

Der Ball bewegte sich entlang einer schrägen Ebene bis zu einer Höhe von 0,6 m, während seine Bewegung in der horizontalen Ebene 1,0 m betrug. Es ist notwendig, die vom Ball zurückgelegte Distanz und den Winkel zu bestimmen.

Die Entfernung wird nach dem Satz von Pythagoras berechnet:

L = 1,00 2 + 0,60 2 = 1,36 = 1,16 m

X = L cosα, Y = L sinα

X / L = cosα, Y / L = sinα

Jetzt können Sie den Winkel finden:

α = Arccos (X / L), α = Arcsin (Y / L)

α = Arccos (1 / 1,16) = 30º

Eine Zwischenberechnung von L kann ausgeschlossen werden:

Y = X

α = arctg (Y / X)

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Sehen Sie sich das Video an: Rechnen mit Vektoren, Grundlagen, Basics. Mathe by Daniel Jung (April 2020).

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Beispiel
Es werden zwei Vektoren $ overline = (1,3) $ und $ overline angegeben = (2,4) $. Sie müssen zwei Vektoren hinzufügen.
Lösung